
\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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	a4paper,
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\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{预备知识：Fourier变换}
	\footnote{本笔记由AI辅助完成。} Fourier变换定义为：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega x} d\omega \\
			F(\omega) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\omega x} dx
		\end{aligned}
	\end{equation}
	
	\section{Fourier变换下的自由粒子薛定谔方程}
	我们在隔壁解析求解PDE的笔记中已经了解了Fourier变换法求解PDE。
	现在，我们将其运用到薛定谔方程的求解。
	自由粒子的薛定谔方程为（无势能项，$V(x)=0$）是量子力学中最基本的方程之一，描述了无外场作用下粒子的运动：
	\begin{equation}
		i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}
	\end{equation}
	我们首先对波函数$\psi(x,t)$关于$x$进行Fourier变换：
	\begin{equation}
		\psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(k,t)e^{ikx} dk
	\end{equation}
	其中$\Phi(k,t)$是$\psi(x,t)$在动量空间（$k$空间）的表示。
	将$\psi(x,t)$的这一表达式代入薛定谔方程：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(k,t)e^{ikx} dk\right] &= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(k,t)e^{ikx} dk\right] \\
			\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} i\hbar \frac{\partial \Phi}{\partial t} e^{ikx} dk &= -\frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(k,t) \frac{\partial^2 e^{ikx}}{\partial x^2} dk \\
			\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} i\hbar \frac{\partial \Phi}{\partial t} e^{ikx} dk &= -\frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(k,t) (ik)^2 e^{ikx} dk \\
			\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} i\hbar \frac{\partial \Phi}{\partial t} e^{ikx} dk &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \Phi(k,t) e^{ikx} dk
		\end{aligned}
	\end{equation}
	由于等式对所有$x$成立，因此被积函数必须相等，从而得到$k$空间中的薛定谔方程：
	\begin{equation} \label{eq_schrod_fourier}
		i\hbar \frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \Phi(k,t)
	\end{equation}
	注意这个方程不包含$\phi$对$k$的导数，相当于一个一阶常微分方程，其通解为：
	\begin{equation} \label{eq_psi_fourier_1}
		\Phi(k,t) = \Phi(k,0) \exp\left(-i \frac{\hbar k^2}{2m} t\right)
	\end{equation}
	将$\Phi(k,t)$代回Fourier变换表达式，得到$\psi(x,t)$：
	\begin{equation} \label{eq_psi_fourier}
		\begin{aligned}
			\psi(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(k,t)e^{ikx} dk \\
			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(k,0) \exp\left(-i \frac{\hbar k^2}{2m} t\right) e^{ikx} dk \\
			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(k,0) \exp\left(ikx - i \frac{\hbar k^2}{2m} t\right) dk \\
			& = \sum_n \frac{\Phi(k_n,0)}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(ik_n x - i \frac{\hbar k_n^2}{2m} t\right) \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	最后一步假定$k$的取值是离散的。
	
	\section{这意味着什么？}
	如果我们还记得动量算符的形式
	\begin{equation}
		\hat p = - i \hbar \pdv{}{x}
	\end{equation}
	我们取Fourier变换中具有确定$k$的一项，比如$\psi_0 = \Phi(k_0,t) e^{i k_0 x}$，并对其运用动量算符：
	\begin{equation}
		\hat p \psi_0 = - i \hbar \pdv{}{x} ~ (\Phi(k_0,t) e^{i k_0 x}) = - i \hbar (i k_0) \psi_0 = \hbar k_0 \psi_0
	\end{equation}
	这告诉我们：
	\begin{itemize}
		\item $p = \hbar k$ 是经典的动量-波矢关系
		\item $e^{i k x}$ 可以理解为$\hat p$的本征基。
	\end{itemize}
	由于Fourier变换的$e^{i k x}$刚好是动量算符的本征基，
	因此在表世界（位置表象）中对波函数做Fourier变换，相当于将波函数按动量算符本征基展开
	\footnote
	{
		复习一下，根据量子力学公理，$\hat p$是观测算符，其本征矢量构成$\ket{\psi}$的本征基。
		因此任一$\ket{\psi}$可按$\hat p$的本征基$\ket{P_n}$展开：
		$$
		\ket{\psi} = \sum_n c_n \ket{P_n}
		$$
	}，
	相应的$\phi$即为本征基的系数。
	在量子世界中，这赋予了Fourier变换深刻的物理含义。
	
	此外，我们还有如下观察：
	\begin{enumerate}
		
		\item 在$k$空间中，薛定谔方程变得极为简单。
		根据\formula{eq_psi_fourier_1}，每个$k$分量独立演化，其模长不变，但相位随时间以频率$\omega_k = \frac{\hbar k^2}{2m}$ “旋转”。
		这直接导致了量子力学语境下的动量守恒。
		
		\item 对 \formula{eq_psi_fourier} 中具有确定$k$的一项运用能量算符$ i \hbar \pdv{}{t}$ 或 $ - \frac{\hbar^2}{2m} \pdv[2]{}{x}$，
		得到 $\hat H \psi_0 = (\frac{\hbar^2 k_0^2}{2m}) \psi_0 = E_0 \psi_0$。
		也就是说，自由粒子的能量
		$$
		E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}
		$$
		相位的“旋转”速度正是能量，除了相差一个$\hbar$常数。
		
		\item 根据 \formula{eq_psi_fourier} ，薛定谔方程描述的波函数的“波速”（$t,x$系数之比）为$\frac{\hbar k}{2m}$，
		这不是常数，导致波速与频率有关。这使导致波包在传播过程中会发生色散（扩散）。
	\end{enumerate}
\end{document}
